Đường tròn Apollonius.

Cho A và B là hai điểm trong mặt phẳng và r = d 1 d 2 {\displaystyle r={\frac {d_{1}}{d_{2}}}} là một số dương khác 1 thì quỹ tích của các điểm P sao cho tỉ số các độ dài A P B P = d 1 d 2 = r {\displaystyle {\frac {AP}{BP}}={\frac {d_{1}}{d_{2}}}=r} là một đường tròn. Đường tròn xây dựng theo cách này còn được gọi là đường tròn Apollonius.

Bằng chứng sử dụng các vector trong không gian Euclide

Cho d1, d2 là số thực không bằng nhau.Cho C là điểm phân chia AB của d1: d2 và D là điểm phân chia externaly của AB thành d1: d2.

P C → = d 2 P A → + d 1 P B → d 2 + d 1 ,   P D → = d 2 P A → − d 1 P B → d 2 − d 1 . {\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {PC} }}={\frac {d_{2}{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}+d_{1}{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{d_{2}+d_{1}}},\ {\overrightarrow {\mathrm {PD} }}={\frac {d_{2}{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-d_{1}{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{d_{2}-d_{1}}}.}

Sau đó,

P A : P B = d 1 : d 2 . {\displaystyle \mathrm {PA} :\mathrm {PB} =d_{1}:d_{2}.} ⇔ d 2 | P A → | = d 1 | P B → | . {\displaystyle \Leftrightarrow d_{2}|{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}|=d_{1}|{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}|.} ⇔ d 2 2 | P A → | 2 = d 1 2 | P B → | 2 . {\displaystyle \Leftrightarrow d_{2}^{2}|{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}|^{2}=d_{1}^{2}|{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}|^{2}.} ⇔ ( d 2 P A → + d 1 P B → ) ⋅ ( d 2 P A → − d 1 P B → ) = 0. {\displaystyle \Leftrightarrow (d_{2}{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}+d_{1}{\overrightarrow {\mathrm {PB} }})\cdot (d_{2}{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-d_{1}{\overrightarrow {\mathrm {PB} }})=0.} ⇔ d 2 P A → + d 1 P B → d 2 + d 1 ⋅ d 2 P A → − d 1 P B → d 2 − d 1 = 0. {\displaystyle \Leftrightarrow {\frac {d_{2}{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}+d_{1}{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{d_{2}+d_{1}}}\cdot {\frac {d_{2}{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-d_{1}{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{d_{2}-d_{1}}}=0.} ⇔ P C → ⋅ P D → = 0. {\displaystyle \Leftrightarrow {\overrightarrow {\mathrm {PC} }}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {PD} }}=0.} ⇔ P C → = 0 → ∨ P D → = 0 → ∨ P C → ⊥ P D → . {\displaystyle \Leftrightarrow {\overrightarrow {\mathrm {PC} }}={\vec {0}}\vee {\overrightarrow {\mathrm {PD} }}={\vec {0}}\vee {\overrightarrow {\mathrm {PC} }}\perp {\overrightarrow {\mathrm {PD} }}.} ⇔ P = C ∨ P = D ∨ ∠ C P D = 90 ∘ . {\displaystyle \Leftrightarrow \mathrm {P} =\mathrm {C} \vee \mathrm {P} =\mathrm {D} \vee \angle {\mathrm {CPD} }=90^{\circ }.}

Vì vậy, điểm P là trên vòng tròn có đường kính CD.